기존 프렌차이즈 였던 병원에서 개인사업자로 변경하며 새롭게 상호명을 내어 오픈을 하였습니다

상호명만 바뀌었는데, 

블로그나 온라인에서 작업시 XXXX (기존프렌차이즈상호)를 검색 시 나오고 있습니다.

하지만 제목이나 내용에는 구)XXXX(기존프렌차이즈상호) 에서 새롭게 OOOO으로 변경하였다

라는 내용으로 명시하고 있습니다.

기존프렌차이즈는 본인의 상호명으로 블로그작업이나 그런 부분을 하지 않길 원하고 있습니다.

이런 부분에 있어서 기존프렌차이즈에서 제재를 하며, 내용증명서를 보낸다하며, 공문을 보내고 있는데

이럴경우 법적으로 문제가 되는게 있을까요?